이를 좀 더 쉽게 이야기하면, ‘직선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선은 단 하나 존재한다’가 된다. 그런데 19세기 이후, 이러한 전제가 점차 ⓐ부정되기 시작하였다. 다시 말해, 평면상의 두 직선은 모두 만날 수 있다는 것이 증명된 셈이다. 그 결과, 다른 네 공리는 유지한 채 제 5공리만 부정함으로써 기존의 기하학과 전혀 다른 세계가 펼쳐졌다.

여기에서 두 가지 짚고 넘어가야 할 부분이 있다. 첫째, 공준에 모순이 존재할 수 있는지에 대해 궁금증을 가질 수도 있다. 그러나 이는 나중에 괴델이 ‘불완전성 정리’라는 논문을 통해 수학의 불완전성을 증명하였으므로 크게 문제될 부분이 아니다. 여기에서 불완전성 정리는 ‘수학에서는 증명도 부정도 되지 않는 명제가 반드시 존재한다. 또한, 수학을 전개하는 근본 공리를 선정해 그 체계가 정말 모순이 없다면, 그 모순이 없다는 사실 자체는 그 체계의 논리전개로는 증명을 할 수 없다.’로 요약할 수 있다. 둘째, 제 5공준이 부정되었다고 해서 이것이 유클리드 기하학 체계의 붕괴를 의미하는 것은 아니다. 그저 기존의 체계와 ⓑ판이한 ‘비유클리드 기하학’이라는 새로운 체계가 탄생한 것이다. 비유클리드 기하학은 이렇게 해서 시작되었으며, 수학자 가우스가 이 이름을 처음 명명하였다.

비유클리드 기하학은 추상적으로 다루어지는 경우가 대부분이다. 이러한 비유클리드 기하학 가운데 비전공자들이 쉽게 이해할 수 있는 것 중 하나가 ‘택시 기하학’이다. <그림 1>과 같은 경우를 가정해보자. 유클리드 기하학에서 두 지점 간의 거리( )는 피타고라스의 정리에 의하여 = 이다. 이는 두 지점 간의 ‘직선거리’를 뜻하며, 실생활에 적용되기 어려운 경우가 많다. 반면, 택시 기하학에서 두 지점 간의 거리( )는 = 이며, 이를 택시거리라고 한다. 즉, 택시거리는 한 블록의 가로 길이와 세로 길이의 합이다. 쉽게 말해 건물을 통과할 수 없는 ‘택시’가 도로만을 이용해 갈 수 있는 두 지점 간의 최단 거리를 구한다고 볼 수 있다. 따라서 택시거리가 직선거리보다 더 실생활에 ⓒ적합하다고 볼 수 있다.

위에서 언급한 택시거리의 ⓓ정의 때문에, 택시 기하학은 기존의 기하학과 여러 가지 다른 특징을 보인다. 첫째, 원은 ‘평면 위의 한 점에서 일정한 거리에 있는 점들로 이루어진 곡선’으로 정의된다. 따라서 유클리드 기하학에서 중심이 이고 반지름이 인 원( )은 이다. 반면, 택시 기하학에서 중심이 이고 반지름이 인 원( )은 이다. 즉, ‘택시원’은 우리가 흔히 아는 정사각형의 모양인 셈이다. 둘째, ㉡택시 기하학에서의 정삼각형은 세 각이 모두 60°가 아닐 수도 있다. 택시 기하학에서의 정삼각형은 유클리드 기하학에서의 정삼각형이 아닌 이등변삼각형으로 나타나기도 한다. 이 역시 택시 거리의 정의 때문에 나타나는 현상이다. 셋째, 택시 기하학에서는 삼각형의 합동 공리, 즉 SAS합동(두 쌍의 대응하는 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인 각의 크기가 같으면 두 삼각형은 합동이다)이 성립하지 않는다. 이는 SAS합동을 만족하는 두 쌍을 찾을 수 없음을 의미하는 것이 아니라, SAS합동이 무조건 성립하는 것은 아님을 의미한다. 또한, SAS합동은 다른 두 개의 삼각형의 합동 조건인 SSS합동과 ASA합동의 기반이므로, SAS합동이 성립하지 않는다는 것은 나머지 두 합동 조건 역시 성립하지 않음을 뜻한다. 그 외에도 마름모의 두 대각선이 직교하지 않는 등의 특징을 지니고 있다.

비유클리드 기하학 중에서도 간단한 축에 속한다는 택시 기하학도 어려운데, 비유클리드 기하학을 왜 받아들여야 하며 이에 대해서 왜 ⓔ이해해야 하는지 의문이 들 수도 있다. 그러나 비유클리드 기하학의 발견과 이에 대한 이해는 우리의 삶의 많은 부분들을 바꾸어놓았다. 우선, 이 발견을 통해 2000년 간 우리의 사고를 지배했던 유클리드 기하학에서 벗어나게 되었다. 이는 힐베르트와 위에서 언급한 괴델 등 여러 수학자들의 수학기초론 연구에 큰 영향을 주었다. 또한, 타원적 비유클리드 기하학이라고도 불리는 리만 기하학은 아인슈타인의 일반상대성이론에 큰 영향을 미쳤다. 리만 기하학을 통해 시·공간의 휘어짐을 설명한 것이다. 아인슈타인은 “나는 기하학의 이러한 해석이 대단히 중요하다고 생각한다. 만일 내가 그 기하학을 몰랐다면 나는 결코 상대성 이론을 만들어 낼 수 없었을 것이다.”라고 이야기하며 자신의 발견에 대한 리만 기하학의 도움을 긍정적으로 평가했다. 이와 같이 비유클리드 기하학은 자연과학 분야에서 폭넓게 이용되고 있다.

공준 : 자명한 명제는 아니나 기본적인 전제가 되는 것

이번에는 대략 2400자 나오네요...

첫번째 꺼 피드백 부탁드렸더니 극소수의 분들만 말씀해주시더군요...ㅜㅡㅜ

대략적으로 아래 두 의견으로 수렴되었습니다.

1. 계산 있는 과학 기술 제제였으면 좋겠다.

2. 정보량이 지나치게 많은 것 같다. 조금만 줄였으면 좋겠다.

비록 과학 기술 제제는 아니지만 계산 문제를 낼 수 있고

정보량은 줄이고 사고를 요하는 지문을 짤 수 있는 수학 제제를 고르게 되었네요...

그런데 대체 함수 그래프를 어떻게 그려야 할지 모르겠다...;;;

문제 선지 때문에 도형도 필요할 것 같은데...

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꽃케이 [633077]

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영탐 구제좀... · 652815 · 16/12/01 20:49 · MS 2016

비유클리드 기하학은있는데 에이유클리드 기하학은없나요

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Donghwa · 647037 · 16/12/01 20:51 · MS 2016

신고 ㅋㅋ

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꽃케이 · 633077 · 16/12/01 20:52 · MS 2015

아닐 비(非) 씁니다 ㅋㅋㅋㅋㅋ

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벨로 · 172698 · 16/12/01 20:50 · MS 2007

국어 문제 만드는길이 쉽지가 않네요..혼자 꾸역꾸역 작업하시는게 대단

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꽃케이 · 633077 · 16/12/01 20:52 · MS 2015

한 두 지문 올려서 계속 작업해도 되는지 평가(?) 받을 생각이었는데 다들 자료 받기만 하시구 피드백이 거의 없어서 당황스럽네요...;;; 출판 작업을 시작해야 할지 말아야 할지 감이 안 잡혀요 ㅋㅋㅋㅋㅋ

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츄릅츄릅 · 669956 · 16/12/01 21:05 · MS 2016

이거 너무 어려울 것 같은데...

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츄릅츄릅 · 669956 · 16/12/01 21:06 · MS 2016

혹시 응용문제를 택시 기하학의 정의를 고려하면 유클리드 기하학에서 어떤 도형이 택시 기하학에서 어떤 도형으로 나타나는가? 같은 걸로 내실거라면 수능 수준에는 맞지 않는 것 같네여

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꽃케이 · 633077 · 16/12/01 21:09 · MS 2015

그건 제가 생각해도 너무 간 거 같아요ㅋㅋㅋㅋㅋ 기껏해야 위에 있는 ㄴ이 어떤 모양으로 나타날까요??? 두 빗변의 사잇각이 예각? 직각? 둔각? 이 정도로 낼 생각입니다. 주변에 ㄱ 추가해서...

아예 근거도 없이 어떤 게 어떤 모양이 되는가?라고 묻는 건 너무 과한 것 같네요...

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츄릅츄릅 · 669956 · 16/12/01 21:16 · MS 2016

저 한참 고민했는데 아직도 왜 정삼각형이 이등변삼각형으로 나타나는지 모르겠음

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꽃케이 · 633077 · 16/12/01 21:20 · MS 2015

이거 말해주면 답 스포인데 ㅋㅋㅋㅋㅋ

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꽃케이 · 633077 · 16/12/01 21:29 · MS 2015

아 죄송해요... 뭔가 의미를 이상하게 전달함... 모든 각이 60도인 정삼각형이 존재하지 않는다는 것이 아니라, 그렇지 않은 경우가 존재하기 때문에 택시 기하학에서의 모든 정삼각형이 그렇다고 정의할 수 없다는 겁니다...

이 부분 수정해야할 필요가 있겠네요... 감사합니다 덕분에 문제점을 발견했네요...

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츄릅츄릅 · 669956 · 16/12/01 21:55 · MS 2016

네 일단 대칭성이 깨지면 안될 것 같아서.. 원이 정사각형으로 변하는 거는 대칭성이 유지되니까 괜찮은데 정삼각형이 이등변삼각형으로 가면 대칭성이 안맞으니까 뭔가 이상한 것 같아요.

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꽃케이 · 633077 · 16/12/01 22:00 · MS 2015

그러나 정삼각형이 아닌 이등변삼각형이 정삼각형이 되는 경우가 존재합니다...!

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츄릅츄릅 · 669956 · 16/12/01 22:01 · MS 2016

그건 그럴 수도 있죠

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츄릅츄릅 · 669956 · 16/12/01 22:02 · MS 2016

대각선길이가 실제길이보다 항상 크게 평가되는 거니까 길이가 같은 두 변 사이의 각이 둔각인 이등변삼각형의 경우에는 정삼각형이 될 수 있을듯

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