변곡점 지날때 접선과의 교점수 변하지않는것

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이거 좀 명쾌하게 이해할수있는 방법 없나요?
한석원선생님은 그냥 변곡점에따라서 교점의수가 달라진다고만 언급하시고..
식으로 풀면 접선이 변곡점지나는점에서 중근이 나오긴하는데 도대체 무슨의미인지 모르겠네요

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Hongidlong [475390]

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킬녕 · 520625 · 15/08/02 00:10 · MS 2014

아마 2012학년도 문제인가 답이 15/4인가 그건가요?

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Hongidlong · 475390 · 15/08/02 00:11 · MS 2013

네 해설강의를봐도 답지를봐도 아리송하네요

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킬녕 · 520625 · 15/08/02 00:22 · MS 2014

삼차함수와 직선의 위치관계는 3가지로 나눌 수 있죠? 변곡점보다 위에있는 경우 변곡점을 지나는경우 변곡점보다 아래에 있는경우 이렇게요. 그런데 지금 (0,2)에서 주어진 삼차함수에 접선을 그으면 그게 변곡점위에서의 접선이 되서 거기서는 삼중근으로 교점이 하나인건 이해가 가셨죠? 그 주변에서 설명을 해드릴게요. 만약 그 변곡점위의 접선보다 기울기가 작다면(직선이 변곡점보다 아래에 위치한다면) 이 직선이 이 삼차함수와 2점 이상에서 만나려면 접선보다 기울기가 크거나 같아야 하잖아요? 그런데 가정이 접선보다 기울기가 작다고했으므로 모순이 발생해서 직선이 변곡점아래에 있는 경우에는 교점을 1개밖에 가질수 없게됩니다. 이번에는 직선의 기울기가 접선보다 큰경우(직선의 위치가 변곡점보다 위에있는 경우)를 생각해보면 아까 경우와 마찬가지로 2점 이상에서 만나려면 기울기가 접선보다 작거나 같아야 하므로 역시 가정과 모순되므로 직선이 변곡점 위에 위치한다면 기울기가 15/4가 될때까지 교점이 1개임을 알수있습니다. 따라서 답은 15/4가 되죠. 그런데 이러한 삼차함수와 직선의 교점의 개수는 고등교육과정에서 자세히 다루지 않기 때문에 이 문제를 가장 정확히 푸는 법은 기울기 m인 직선이 (0,2)를 지나므로 y=mx+2라고 놓고 mx+2=삼차함수(제가 지금 밖이라 문제확인을 못해서..) 에서 m=(x에대한 함수)로 놓고 이 함수를 그려서 상수함수와의 위치관계를 이용해서 이 방정식의 근의 개수가 변할때의 m의 최댓값을 구하는 것이 고등교육과정에서 좀더 쉬운풀이가 될거같습니다.

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Hongidlong · 475390 · 15/08/02 00:43 · MS 2013

정성스런 답변 감사합니다
적어놓고 계속 볼게요

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키랄 · 488086 · 15/08/02 10:33

오목 볼록과 접선간의 관계를 보시면 알수있을듯..엄밀하게는 다항함수제외하고 추가적인증명이 필요해요

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